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Cap.21
STUDIO ANALITICO SULLA DINAMICA DELL'ARCO
21/1 ANALISI
Diamo per scontato che l'arco sia costituito
da una forte e rigida sezione centrale e da due flettenti che,
in ogni posizione della trazione, formano un arco di cerchio.
Questo assunto è ragionevole perchè praticamente tutti i costruttori
fabbricano archi che seguono questa forma. Un arco siffatto sottopone
tutte le sezioni allo stesso sforzo. Si ritiene che per la maggiore
parte degli archi questo tipo di curvatura sia auspicabile. Il
metodo qui descritto è applicabile anche ad archi con altre forme
di curvatura (fig.
1).
Poniamo B uguale a metà della lunghezza dell'arco, L uguale alla
parte rigida centrale, B1=B-L uguale alla parte attiva di ogni flettente, S uguale alla
metà della lunghezza della corda, H uguale alla distanza tra il punto centrale dell'arco
e la linea che unisce le punte (tips) dell'arco (corda), P uguale alla distanza fra la
cocca (ad arco teso) e la corda, D=H+P uguale all'allungo, Y uguale a metà della
lunghezza della corda, A uguale all'angolo compreso tra la linea che congiunge il tip col
punto O e la linea che rappresenta il flettente scarico, (il punto O è posto a una
distanza di 3B1/4 dal tip). Poniamo E uguale all'angolo tra la corda a riposo e la corda
in trazione, f uguale alla forza statica su ogni tip nella direzione tangente alla
sua traiettoria, T è uguale alla tensione statica della corda, f è uguale alla
forza statica di trazione.
Y1=(Y-B1)/(4-L)
e N è uguale alla distanza percorsa dal tip sulla sua traiettoria
durante la sua trazione.
È dimostrabile che la traiettoria percorsa dal tip è una parte di
cardioide. La porzione di cardioide percorsa dal tip è un quasi perfetto arco di cerchio
il cui raggio è 3B1/4 ed il cui centro è situato ad una distanza di 3B1/4 dal tip
dell'arco scarico.
Dato che le equazioni che otterremo sono basate sull'assunto che i
tips percorrono archi di cerchio aventi un raggio di 3B1/4, verificheremo ora l'esattezza
di questa affermazione.
Nella figura
2, poniamo B1 uguale alla lunghezza della parte flettente
di un semiarco. Poichè il semiarco si flette secondo un arco di
cerchio, B1 è l'arco di cerchio avente raggio r e <F128M>q<F255D>
è il corrispondente angolo al centro. La corda di detto arco di
cerchio è K=2r sin <F128M>q<F255D>/2, e r=B1/<F128M>q<F255D>
dove <F128M>q<F255D> è misurato in radianti.
D'altronde K=(2B1/<F128M>q<F255D>) sin
<F128M>q<F255D>.
Il punto Q è scelto in modo che QY=3B1/4 e QX=B1/4.
XY=B1 rappresenta la lunghezza e la posizione della parte attiva del
flettente prima della trazione.
L'angolo QXZ=<F128M>q<F255D>/2.
Poniamo QZ=R.
Quindi: R={B12/16+K2-(KB1/2) cos<F128M> q<F255D>/2}1/2.
Sostituendo il valore precedente di K ed usando ben note relazioni
trigonometriche si può dimostrare che R diventa:
R=(3B1/4) (1-16<F128M>q<F255M^>4/9)|6+...)1/2
Dato che l'angolo <F128M>q<F255D> è un arco curvato
(non eccede mai l'unità) (cioè 57.3 gradi), tutti i termini sotto radice, eccetto il
primo, sono trascurabili.
Quindi R=3B1/4.
(Il massimo valore di <F128M>q<F255D> per un arco medio
è pari a circa 2/3).
Per questo valore di <F128M>q<F255D>, il secondo termine
sotto il radicale dovrebbe aggirarsi intorno a 16/32.805. Trascurare questo termine
comporta un errore inferiore a 2/1000.
Riferendoci alla fig.
1 la forza f è proporzionale allo spostamento N ed
è quindi proporzionale all'angolo A che corrisponde all'arco N.
Sia f=CA, dove C è una costante, in funzione delle dimensoni
e del materiale costituente l'arco.
Lo O sottoscritto è usato per indicare il valore di ciascuna delle
variabili quando l'arco è incordato ma non teso.
Le seguenti relazioni algebriche e trigonometriche possono essere
così ottenute.
Y1=(3B1/4) cos A, Y=Y1+B1/4+L,
S=Y0=(3B1/4) cos A0+B1/4+L=1/2 lunghezza di corda,
H=(3B1/4) sin A, H0=(3B1/4) sin A0,
E= cos-1 Y/S, P=S sin E=(S2-Y2)1/2
D=H+P, T=f/ sin (A+E)=CA/ sin (A+E),
T0=2T sin E=(2AC sin E)/ sin (A+E),
N=3B1A/4, N0=3B1A0/4.
21/2 TRATTAZIONE DINAMICA
x rappresenta la distanza percorsa della freccia in t secondi.
Allora dx/dt=V, dove V è la velocità istantanea della freccia.
Ma x=D'-D, dove D' è il valore di D per l'arco teso a pieno
allungo. Le lettere con l'apice (') le useremo per rappresentare il valore delle variabili
"a pieno allungo". Verranno quindi considerate come delle costanti.
dx/dt=d(D'-D)/dt=dD/dt=V
In modo analogo, dN/dt=V, uguale alla velocità del tip del l'arco.
Ma dD/dN=(dD/dt)/(dN/dt)=V/v=R, dove R è la proporzione tra le due
velocità.
Anche: dD/dN F(dD/dA)(dA/dN)
Ma D=H+P.
Perciò, sostituendo i valori dati per D=H+P, e differenziando
dD/dA=(3B1/4) cos A+(3B1Y/4P) sin A.
Ma A=4N/3B1 e dA/DN=4/3B1.
Quindi: dD/dN=V/v=R= cos A+(Y/P) sin A.
Poniamo M la massa della freccia, m/2 la massa effettiva collocata
al tip di ogni flettente, W l'energia potenziale dei due flettenti.
Dato che N è lo spostamento di ogni tips W'-W=C(A'N'-AN) è la
perdita in energia potenziale di ambo i flettenti dalla posizione di pieno allungo ad ogni
altra posizione.
Non considerando la dissipazione di energia (in calore e suono), il
guadagno di energia cinetica è uguale alla perdita di energia potenziale.
Quindi MV2/2+mv2/2=C(A'N'-AN)
ma V=Rv, allora v={2C(A'N'-AN)/(MR2+m)}1/2
ma N=3B1A/4, allora v={3B1C(A'2-A2)/2(MR2+m)}1/2
V=Rv=R{3B1C(A'2-A2)/2(MR2+m)}1/2
Sia a uguale all'accelerazione del tip e A l'accelerazione
della freccia (i termini in grassetto saranno usati per indicare valori dinamici di
variabili).
a=dv/dt=(dv/dt)(dA/dt)=(dv/dA)(da/dN)(dN/dt).
Ma dA/dN=4/3B1 e dN/dt=V.
Quindi: a=2CA/(MR2+m)-2MRC(A'2-A2)Z/(MR2+m)2,
dove Z= sin A-(Y/P) cos A+(3B1S2/4P3) sin2 A
In più A=dV/dt=d(Rv)/dt=vdR/dt=vdR/dt+Rdv/dt;
dR/dt=(dR/dA)(dA/dt)=(dR/dA)(dA/dN)(dN/dt)=-(4v/3B1)dr/dt.
Allora A=2CAR/(MR2+m)+2mC(A'2-A2)Z/(MR2+m)2
La forza dinamica f sul tip è: f= ma/2.
La forza dinamica F sulla freccia è: F=MA
La tensione dinamica T sulla corda è:
T=F/2 sin E=SF/2P=SMA/2P=(f-f)/ sin (A+E).
Se l'angolo A è espresso in radianti, la massa in libbre, la
lunghezza in piedi e le forze in poundals (flb) (=0,138254954376 Newton), velocità e
accelerazione saranno ottenute in piedi/sec e piedi/sec/sec, rispettivamente.
Naturalmente è più conveniente usare i gradi per l'angolo e
pollici per la lunghezza, libbre per la forza e grani per le masse.
È anche conveniente avere per la costante C un valore tale che f=CA
dove f è espresso in libbre e A in gradi. Allo scopo di usare le unità appena
spiegate ed ottenere ancora le velocità e le accelerazioni rispettivamente in piedi/sec e
piedi/sec2, la formula seguente diventa
v={492B1C(A'2-A2)/(MR2+m)}1/2, V=Rv
a=450,800CA/(MR2+m)-7,868MRc(A'2-A2)Z/(MR2+m)2,
A=450,800CAR/(MR2+m)+7,868mC(A'2-A2)Z/(MR2+m)2,
f=2.22ma*10-6, F=4.44MA*10-6,
T=F/2 sin E=SF/2P=2.22SMA*10-6/P=(f-f/sin
(A+E)
R=V/v= cos A+(Y/P) sin A.
Allo scopo di mostrare come si usano queste formule, le abbiamo
applicate ad un arco di 6 piedi con una sezione rigida centrale di 8 pollici (L=4
pollici), con un bracing (distanza corda-arco) di 6 pollici (H0=6"), ed un allungo
D=27,5".
Dall'equazione H0=(3B1/4) sin A0, A0=14<198>-29'.
Dall'equazione S=(3B1/4) cos A0+B1/4+L, S=35.2373 pollici.
La parte flettente di ogni limb, B1=32 pollici.
Poniamo che ogni limb abbia uno spessore costante t=0.6 pollici.
Poniamo la larghezza alla flessione uguale a W=1.5".
Poniamo la larghezza ad ogni altro punto uguale a w=Wx, dove x è la
distanza dalla cocca.
Questo arco tipo è trattato nel numero di Gennaio 1932 di "Ye
Sylvan Archery". Tutte le sezioni di un arco del genere sono sollecitate nella stessa
maniera, ed i flettenti si piegano secondo un arco di cerchio.
Può essere dimostrato che l'energia cinetica di un flettente per
questo arco tipo è K=tWdB1V2/60 dove d è la densità del legno dell'arco e V è la
velocità del puntale quando passa attraverso la sua posizione neutra. Se un flettente
avente la stessa energia cinetica ha la sua massa m/2 concentrata al tip,
allora: mV2/4=tWdB1V2)/60 e m=tWdB1/15.
Per m in grani, t, W, e B1 in pollici e d in libbre per piede cubo,
questa equazione diventa:
m=0.270tWdB1
Per il legno di tasso, d=43.
Quindi: m=0.270*6*1.5*43*32=334.4 grani.
Se la freccia pesa 350 grani e la corda 105 grani, M sarà uguale a
385 grani, poichè si sa che al peso della freccia bisogna aggiungere approssimativamente
un terzo del peso della corda per ottenere la sua effettiva massa M.
È ora necessario determinare il valore della costante C. Nel numero
Gennaio/1932 di "Ye Sylvan Archer", è stato dimostrato che la deformazione al
tip di questo arco "tipo"
N=6fB13/Wt3Y dove Y è il modulo di Young per la flessione
Ma N=B1<F128M>p<F255D>A/240 dove A è espresso in gradi
e f=CA/Wt3
quindi: B1<F128M>p<F255D>/240=6CAB13/Y
da cui: C=Wt3<F128M>p<F255D>Y/1440B12
per il legno di tasso: Y=1.46*106
quindi: C=1.005.
Le formule sviluppate vengono, ora, applicate ed i risultati
tracciati in forma grafica.
La figura
3 mostra forze statiche dinamiche sul tip, in funzione della
trazione. La curva indicata con f rappresenta la forza
tangente alla traiettoria richiesta per deformare il tip per tutte
le posizioni della trazione. Quando la corda viene rilasciata
con la freccia al suo posto, la maggior parte dell'energia potenziale
dell'arco è usata per accelerare la freccia, cosicchè inizialmente
sono disponibili solo circa 5 libbre di forza effettiva per accelerare
il tip dell'arco. Questa forza dinamica F rimpicciolisce
man mano che la freccia esce. Raggiunge lo zero per una posizione
corrispondente ad un allungo di circa 15.5". Dopo di che
questa forza diviene negativa. Ciò significa che la forza statica
tende a muovere in avanti i tips non è così grande come la forza
ritardante che risulta dalla tensione della corda. Questa differenza
è data dall'energia cinetica acquistata dai tips. La forza tendente
a frenare i tips è ora usata per accelerare la freccia.
La figura
4 mostra le forze statiche e dinamiche sulla freccia. Qui
vediamo che al momento del rilascio, la forza dinamica F
sulla freccia è più piccola della forza statica F che era sulle
dita che tenevano la corda. Ciò è dovuto al fatto che è necessaria
una qualche forza per mettere in moto i limbs. <R> Quando
la freccia comincia ad avanzare, la forza su di essa comincia
a decrescere come mostrato dalla curva F. La forza dinamica F
non decresce altrettanto rapidamente come la forza statica F..
<R> Ciò è dovuto all'energia cinetica dei tips. Ciò spiega
come mai dei tips massicci non riducano di molto la velocità della
freccia, l'energia richiesta per il moto dei tips è data alla
freccia in tempi successivi.
Naturalmente, questo incremento della forza
F dovuta all'energia cinetica dei flettenti non è auspicabile
dal punto di vista della precisione. La tensione statica T della
corda è data in fig.
5.<R> Nello stesso grafico troviamo che al rilascio
della freccia, la tensione dinamica T cade lievemente,
ma subito dopo comincia a crescere.<R> Dove ciò non avviene,
è dovuto al fatto che la corda può essere lievemente stirata,
e tale tensione può rompere la corda. I tips pesanti aumentano
questa tensione.
La
fig. 6 dà la velocità della freccia e la velocità dei tips
in funzione della trazione. Vediamo che la velocità dei tips raggiunge
un massimo ad un allungo di circa 15 pollici. Essa poi rimpicciolisce,
raggiungendo lo zero sul momento in cui la corda raggiunge la
sua posizione neutrale. A causa dell'allungamento della corda,
questa velocità zero è raggiunta leggermente più tardi di quando
mostrato. Ovviamente, in questo caso, i tips convergono effettivamente
la loro direzione e tornano indietro.<R> Una corda pesante
accentua questo effetto. La velocità della freccia si incrementa,
accelera, per tutto il tempo del rilascio. <R> Naturalmente,
per frecce leggere e tips pesanti, il tasso di incremento può
essere molto meno durante la parte centrale del rilascio e quindi
aumentare bruscamente verso la fine.
La fig.
7 mostra l'accelerazione della freccia e dei tips in funzione
della trazione. L'accelerazione dei tips diminuisce fino a raggiungere
lo zero alla posizione corrispondente ad un allungo di circa 15.5".<R>
Dopo di che l'accelerazione diventa negativa (ciò significa che
i tips stanno rallentando). L'accelerazione della freccia decresce
per un breve tratto, dopodichè il decremento diviene meno rapido.<R>
Per frecce molto leggere può crescere ancora. Più corto l'arco,
maggiore il "ritorno", più pesanti i tips e minore l'altezza
della corda, più questo effetto è pronunciato. Questo è il motivo
per cui tanti arcieri non accettano queste caratteristiche quando
ricercano la precisione. <R> L'effetto verrà ridotto con
frecce pesanti. Anche un arco con le estremità molto rastremate
ridurrà l'accelerazione vicino alla fine dello scarico (ciò spiega
perchè un arco di questo tipo non scalcia). I calcoli che forniamo
qui sono relativi ad un arco con efficienza del 100%. Se la corda
è presa in considerazione come nei calcoli precedenti si possono
costruire archi con un'efficienza del 93%. Un arco OSAGE del tipo
suddetto fu costruito dal Dr. P.E. KLOPSTEG. La maggior parte
degli archi hanno efficienza inferiore.
Se il legno è buono, e nessuna delle parti dell'arco è stressata
oltre i limbs elastici, l'efficienza può ridursi solo se l'energia cinetica dei flettenti
non viene correttamente distribuita alla freccia. La perdita in energia del piegamento del
legno, e per la resistenza dell'aria è trascurabile.
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